---
route: /task/matura-maj-2019-12
title: Zadanie matura-maj-2019-12
source: Matura maj 2019
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2019-12

**Źródło:** Matura maj 2019
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3} = \frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{1}{3} \)
- **B.** \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
- **C.** \( 3 \)
- **D.** \( \sqrt{3} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Do zadania możemy podejść na wiele różnych sposobów (dojdziemy nawet do poprawnej odpowiedzi, kiedy założymy sobie że trzeci wyraz jest równy \(9\), a piąty jest równy \(1\), choć w rzeczywistości tak wcale być nie musi).

Najlepszym sposobem będzie rozpisanie sobie lewej strony równania w ten sposób:

$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{3}\cdot q^2}{a_{3}}=q^2$$

Z treści zadania wynika, że to co nam wyszło musi być równe \(\frac{1}{9}\), zatem:

$$q^2=\frac{1}{9} \\

q=\frac{1}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{3}$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo gdyby \(q\) było ujemne to nasz ciąg nie miałby wszystkich wyrazów dodatnich. W związku z tym \(q=\frac{1}{3}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2019