---
route: /task/matura-maj-2018-34
title: Zadanie matura-maj-2018-34
source: Matura maj 2018
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2018-34

**Źródło:** Matura maj 2018
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a = 6\), \(H = \frac{3\sqrt{3}}{2}\), \(V = 40\frac{1}{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.

Z treści zadania wynika, że pole podstawy (czyli \(P_{p}\)) jest dokładnie takie samo jak pole ściany bocznej (które oznaczymy sobie jako \(P_{śb}\)). Skoro więc \(P_{p}=P_{śb}\) to korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej możemy zapisać, że:

$$P_{c}=2P_{p}+3P_{śb} \\

P_{c}=2P_{p}+3P_{p} \\

P_{c}=5P_{p} \\

45\sqrt{3}=5P_{p} \\

P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.

Skoro w podstawie jest trójkąt równoboczny i skoro znamy jego pole powierzchni (obliczyliśmy je przed chwilą) to w prosty sposób możemy obliczyć także długość krawędzi podstawy:

$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\

36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3} \\

a^2=36 \\

a=6 \quad\lor\quad a=-6$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(a=6\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.

Wysokość graniastosłupa jest jednocześnie wysokością ściany bocznej. O tej ścianie bocznej wiemy, że jest prostokątem o polu powierzchni \(9\sqrt{3}\) (bo jest to takie samo pole co pole podstawy). Skoro więc znamy miarę jednego boku tego prostokąta \(a=6\), to drugi bok (będący jednocześnie wysokością graniastosłupa) jest już bardzo prosty do policzenia:

$$P_{śb}=a\cdot H \\

9\sqrt{3}=6\cdot H \\

H=\frac{3}{2}\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.

Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia objętości, zatem:

$$V=P_{p}\cdot H \\

V=9\sqrt{3}\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3} \\

V=\frac{27}{2}\cdot3 \\

V=\frac{81}{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2018