---
route: /task/matura-maj-2018-32
title: Zadanie matura-maj-2018-32
source: Matura maj 2018
category: Funkcja kwadratowa
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2018-32

**Źródło:** Matura maj 2018
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(C = \biggl( 6\frac{2}{5}, 15\frac{4}{5}\biggl)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2018-32.png]

Krok 2. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).

Wiemy, że punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\). Co wynika ze znajomości tego wzoru? Wynika to, że podstawiając do wzoru argument \(x\) funkcja przyjmuje wartość \(2x+3\). Z tego też względu współrzędne punktu \(C\) możemy zapisać jako \(C=(x;2x+3)\).

Krok 3. Obliczenie długości boku \(AB\).

Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że:

$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\

|AB|=\sqrt{(10-4)^2+(5-3)^2} \\

|AB|=\sqrt{6^2+2^2} \\

|AB|=\sqrt{36+4} \\

|AB|=\sqrt{40}$$

Krok 4. Obliczenie długości boku \(BC\).

Analogicznie jak w poprzednim kroku, podstawiamy do wzoru na długość odcinka współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\).

$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\

|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x+3-5)^2} \\

|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}$$

Całości dalej rozpisywać nie musimy, a to dlatego że za chwilę będziemy korzystać z Twierdzenia Pitagorasa i tam być może pewne poszczególne długości zaczną się upraszczać.

Krok 5. Obliczenie długości boku \(AC\).

I podobnie jak w poprzednich krokach, tym razem wyznaczymy długość boku \(AC\).

$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\

|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x+3-3)^2} \\

|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}$$

Krok 6. Wyznaczenie współrzędnej iksowej punktu \(C\).

Skoro trójkąt \(ABC\) ma być prostokątny, to znaczy że możemy dla niego zastosować Twierdzenie Pitagorasa. Pojawia się jednak pytanie - który bok jest przeciwprostokątną, bo tak wprost nigdzie nie jest to napisane. Wynika to tak naprawdę z nazewnictwa kąta prostego, zapisanego w treści zadania jako kąt \(ABC\). Zgodnie z zasadami nazewnictwa kątów wiemy, że w takiej sytuacji kąt prosty musi być przy wierzchołku \(B\). To oznacza, że przeciwprostokątną będzie prosta \(AC\). W związku z tym:

$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\

(\sqrt{40})^2+\left(\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}\right)^2=\left(\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}\right)^2 \\

40+(x-10)^2+(2x-2)^2=(x-4)^2+(2x)^2 \\

40+x^2-20x+100+4x^2-8x+4=x^2-8x+16+4x^2 \\

5x^2-28x+144=5x^2-8x+16 \\

-28x+144=-8x+16 \\

-20x=-128 \\

x=6,4$$

Krok 7. Wyznaczenie współrzędnej igrekowej punktu \(C\).

Wiemy już, że \(x=6,4\). Teraz możemy podstawić naszego iksa do wyrażenia \(2x+3\) i tym samym obliczymy współrzędną igrekową punktu \(C\):

$$y=2x+3 \\

y=2\cdot6,4+3 \\

y=12,8+3 \\

y=15,8$$

To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) wynoszą: \(C=(6,4;15,8)\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2018