---
route: /task/matura-maj-2018-29
title: Zadanie matura-maj-2018-29
source: Matura maj 2018
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2018-29

**Źródło:** Matura maj 2018
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy \(2\). Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2} - 1\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Skoro promień dużego okręgu jest równy \(2\), to otrzymamy następującą sytuację:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-290.png)

Krok 2. Ułożenie równania.

Na rysunku powstał nam kwadrat \(ABCD\), którego boki są równe długości promienia okręgu. Z własności przekątnych kwadratu wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). Nasz kwadrat \(ABCD\) ma bok długości \(2\), a skoro tak, to odcinek \(AC\) będący przekątną tego kwadratu ma długość \(2\sqrt{2}\). To oznacza, że możemy zapisać iż:

$$x+r+r+2=2\sqrt{2} \\

x+2r+2=2\sqrt{2}$$

Krok 3. Analiza otrzymanego równania i zakończenie dowodzenia.

Wiemy, że \(x+2r+2=2\sqrt{2}\). Skoro \(x\) jest jakąś konkretną długością, to znaczy że odcinek \(2r+2\) jest mniejszy niż \(2\sqrt{2}\). W związku z tym:

$$2r+2\lt2\sqrt{2} \quad\bigg/:2 \\

r+1\lt\sqrt{2} \\

r\lt\sqrt{2}-1$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2018