---
route: /task/matura-maj-2018-23
title: Zadanie matura-maj-2018-23
source: Matura maj 2018
category: Statystyka
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2018-23

**Źródło:** Matura maj 2018
**Kategoria:** Statystyka
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W zestawie \(\underbrace{2,2,2,...,2}_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4,4,4,...,4}_{m \text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb \((m\ge1)\), w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( 2 \)
- **B.** \( 1 \)
- **C.** \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
- **D.** \( \sqrt{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.

W naszym zestawie mamy \(m\) dwójek i \(m\) czwórek. To oznacza, że średnia arytmetyczna tego zestawu danych jest równa:

$$\bar{a}=\frac{2m+4m}{m+m} \\

\bar{a}=\frac{6m}{2m} \\

\bar{a}=3$$

Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.

Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:

I sposób:

Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+...+(x_{n}-\bar{a})^2}{n}\end{split}\) otrzymamy:

$$σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2\cdot m+(x_{2}-\bar{a})^2\cdot m}{2m} \\

σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m} \\

σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m} \\

σ^2=\frac{(-1)^2\cdot m+(1)^2\cdot m}{2m} \\

σ^2=\frac{m+m}{2m} \\

σ^2=1$$

II sposób:

Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2\end{split}\) otrzymamy:

$$σ^2=\frac{{x_{1}}^2\cdot m+{x_{2}}^2\cdot m}{2m}-(\bar{a})^2 \\

σ^2=\frac{2^2\cdot m+4^2\cdot m}{2m}-3^2 \\

σ^2=\frac{4m+16m}{2m}-9 \\

σ^2=\frac{20m}{2m}-9 \\

σ^2=10-9 \\

σ^2=1$$

Krok 3. Obliczenie odchylenia standardowego.

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji, zatem:

$$σ=\sqrt{1}=1$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/statystyka
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2018