---
route: /task/matura-maj-2018-21
title: Zadanie matura-maj-2018-21
source: Matura maj 2018
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2018-21

**Źródło:** Matura maj 2018
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(α\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45^\circ\) (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 5 \)
- **B.** \( 3\sqrt{2} \)
- **C.** \( 5\sqrt{2} \)
- **D.** \( \frac{5\sqrt{3}}{3} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Skąd wiemy, że kąt \(DHB\) ma miarę \(45°\)? Skoro kąt \(α\) ma miarę \(45°\), a trójkąt \(DBH\) jest trójkątem prostokątnym, to znaczy że drugi kąt ostry w zaznaczonym trójkącie musi mieć także \(45°\). To z kolei oznacza, że trójkąt \(DBH\) jest równoramienny.

Krok 2. Oblicznie wysokości graniastosłupa.

Trójkąt \(DBH\) jest trójkątem równoramiennym, zatem \(|DB|=|DH|\). Długość odcinka \(DB\) (czyli przekątnej podstawy) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:

$$3^2+4^2=|DB|^2 \\

9+16=|DB|^2 \\

|DB|^2=25 \\

|DB|=5 \quad\lor\quad |DB|=-5$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. To oznacza, że \(|DB|=5\), czyli wysokość graniastosłupa ma także długość równą \(h=5\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-288.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2018