---
route: /task/matura-maj-2017-30
title: Zadanie matura-maj-2017-30
source: Matura maj 2017
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2017-30

**Źródło:** Matura maj 2017
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość \(26\) cm, a jedna z przyprostokątnych jest o \(14\) cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(60\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2017-30.png]

Krok 2. Wypisanie danych i wykorzystanie ich w Twierdzeniu Pitagorasa.

Zgodnie z treścią zadania:

\(x\) - długość pierwszej przyprostokątnej (w cm)

\(x+14\) - długość drugiej przyprostokątnej (w cm)

\(26\) - długość przeciwprostokątnej (w cm)

Możemy zatem ułożyć i rozwiązać następujące równanie:

$$x^2+(x+14)^2=26^2 \\

x^2+x^2+28x+196=676 \\

2x^2+28x+196=676 \\

2x^2+28x-480=0 \quad\bigg/:2 \\

x^2+14x-240=0$$

Ostatni krok z podzieleniem obu stron przez \(2\) nie jest konieczny, ale dzięki temu będziemy bazować na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=1,\;b=14,\;c=-240\)

$$Δ=b^2-4ac=14^2-4\cdot1\cdot(-240)=196-(-960)=1156 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{1156}=34$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-14-34}{2\cdot1}=\frac{-48}{2}=-24 \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-14+34}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, dlatego zostaje nam jedynie \(x=10\).

Krok 4. Obliczenie obwodu trójkąta.

Zgodnie z naszymi oznaczeniami z kroku pierwszego, boki trójkąta mają długość \(10\), \(24\) oraz \(26\), zatem obwód tej figury jest równy:

$$Obw=10+24+26=60[cm]$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2017