---
route: /task/matura-maj-2017-28
title: Zadanie matura-maj-2017-28
source: Matura maj 2017
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2017-28

**Źródło:** Matura maj 2017
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach \(P\) i \(R\), styczne zewnętrznie w punkcie \(C\). Prosta \(AB\) jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\) oraz \(|\sphericalangle APC|=\alpha \) i \(|\sphericalangle ABC|=\beta \) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(\alpha =180^\circ -2\beta \).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Musimy dostrzec dwie bardzo ważne rzeczy.

Po pierwsze \(|\sphericalangle CBR|=|\sphericalangle BCR|\), bo trójkąt \(CRB\) jest równoramienny (ramiona mają długość promienia okręgu).

Po drugie \(|\sphericalangle PAB|=90°\) oraz \(|\sphericalangle ABR|=90°\), bo promienie okręgów poprowadzone do stycznej są do niej prostopadłe.

Spróbujmy więc nanieść na nasz rysunek te oznaczenia i jeszcze może dodatkowo zapiszmy, że \(|\sphericalangle PCB|=δ\) (przyda nam się to w kolejnym kroku):

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-166.png)

Krok 2. Wyznaczenie miar kątów \(γ\) oraz \(δ\).

Skoro \(|\sphericalangle ABR|=90°\), to możemy napisać, że:

$$β+γ=90° \\

γ=90°-β$$

Kąt \(δ\) wyznaczymy z własności kątów przyległych:

$$|\sphericalangle PCB|+|\sphericalangle BCR|=180° \\

δ+γ=180°$$

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość \(γ=90°-β\) otrzymamy:

$$δ+90°-β=180° \\

δ=90°+β$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).

Patrzymy na czworokąt \(ABCP\). Suma miar tego czworokąta musi być równa \(360°\), zatem:

$$90°+β+δ+α=360° \\

90°+β+(90°+β)+α=360° \\

180°+2β+α=360° \\

α=180°-2β$$

Udało nam się wyznaczyć dokładnie taką samą wartość kąta \(α\) jak w treści zadania, więc dowód możemy uznać za skończony.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2017