---
route: /task/matura-maj-2017-27
title: Zadanie matura-maj-2017-27
source: Matura maj 2017
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2017-27

**Źródło:** Matura maj 2017
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że liczba \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) jest podzielna przez \(17\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Aby wykazać, że dana liczba jest podzielna przez \(17\) to dobrze byłoby zamienić to dodawanie na iloczyn liczb (wyłączając przed nawias odpowiednie wartości) i to w taki sposób by jednym z czynników była albo liczba \(17\) albo jej wielokrotność. Na początku warto wyciągnąć przed nawias wartość \(4^{2017}\):

$$4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}= \\

=4^{2017}\cdot(1+4^1+4^2+4^3)= \\

=4^{2017}\cdot(1+4+16+64)= \\

=4^{2017}\cdot85= \\

=4^{2017}\cdot17\cdot5$$

Doprowadzenie równania do tej postaci kończy nasz dowód, bo skoro jednym z czynników równania jest liczba \(17\), to całe działanie jest także podzielne przez \(17\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2017