---
route: /task/matura-maj-2017-17
title: Zadanie matura-maj-2017-17
source: Matura maj 2017
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2017-17

**Źródło:** Matura maj 2017
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Obwód trójkąta przedstawionego na rysunku jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a \)
- **B.** \( \left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)a \)
- **C.** \( (3+\sqrt{3})a \)
- **D.** \( (2+\sqrt{2})a \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

W tym zadaniu najprościej będzie wykorzystać własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\). Z tych własności wynika wprost, że długość dłuższej przyprostokątnej jest równa \(|AB|=a\sqrt{3}\), a długość przeciwprostokątnej wynosi \(|AC|=2a\). Obwód trójkąta będzie więc równy:

$$Obw=a+a\sqrt{3}+2a \\

Obw=3a+a\sqrt{3} \\

Obw=(3+\sqrt{3})a$$

Gdybyśmy o tych własnościach nie pamiętali, to do wyznaczenia długości boków zawsze możemy posłużyć się jeszcze funkcjami trygonometrycznymi:

Wyznaczenie długości boku \(AB\):

$$tg30°=\frac{a}{|AB|} \\

\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{|AB|} \quad\bigg/\cdot |AB| \\

a=\frac{\sqrt{3}}{3}|AB| \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}} \\

|AB|=\frac{3}{\sqrt{3}}a \\

|AB|=\frac{3\sqrt{3}}{3}a \\

|AB|=a\sqrt{3}$$

Wyznaczenie długości boku \(AC\):

$$sin30°=\frac{a}{|AC|} \\

\frac{1}{2}=\frac{a}{|AC|} \quad\bigg/\cdot |AC| \\

a=\frac{1}{2}|AC| \quad\bigg/\cdot2 \\

|AC|=2a$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2017