---
route: /task/matura-maj-2016-30
title: Zadanie matura-maj-2016-30
source: Matura maj 2016
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2016-30

**Źródło:** Matura maj 2016
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\ge 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie sumy dwóch kolejnych wyrazów ciągu.

Jeżeli pierwszy wyraz ciągu zapiszemy jako \(a_{n}\), to drugim wyrazem będzie \(a_{n+1}\). Wartość \(a_{n}\) jest podana w treści zadania, natomiast \(a_{n+1}\) obliczymy podstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\). W związku z tym:

$$S=a_{n}+a_{n+1} \\

S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1) \\

S=2n^2+2n+2(n^2+2n+1)+2n+2 \\

S=2n^2+2n+2n^2+4n+2+2n+2 \\

S=4n^2+8n+4$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.

Aby móc udowodnić tezę zawartą w zadaniu musimy przedstawić ten wynik w formie jakiejś potęgi. Z pomocą przychodzą nam wzory skróconego mnożenia, a konkretnie na potęgę sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tym wzorem:

$$S=4n^2+8n+4=(2n+2)^2$$

\(2n+2\) jest zawsze liczbą naturalną, bo z definicji ciągów wiemy, że \(n\in N\), a liczba naturalna pomnożona przez \(2\) i powiększona o \(2\) dalej jest liczbą naturalną. To oznacza, że dowód został zakończony.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2016