---
route: /task/matura-maj-2016-23
title: Zadanie matura-maj-2016-23
source: Matura maj 2016
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2016-23

**Źródło:** Matura maj 2016
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 36\pi \)
- **B.** \( 18\pi \)
- **C.** \( 24\pi \)
- **D.** \( 8\pi \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Skoro kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\), to znaczy że powstanie nam mniej więcej coś takiego:

Udało nam się wyodrębnić trójkąt prostokątny, tak więc znając miary poszczególnych kątów oraz znając miarę tworzącej stożka jesteśmy w stanie obliczyć wysokość i promień stożka przy użyciu funkcji trygonometrycznych. Możemy także skorzystać z własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\).

Krok 2. Obliczenie długości promienia stożka.

Zgodnie z zasadami trygonometrii:

$$\frac{r}{4}=cos30° \\

\frac{r}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\

r=2\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości stożka.

Ponownie użyjemy funkcji trygonometrycznych, tym razem sinusa:

$$\frac{h}{4}=sin30° \\

\frac{h}{4}=\frac{1}{2} \\

h=2$$

Krok 4. Obliczenie objętości bryły.

Znając długość promienia podstawy oraz wysokość stożka możemy bez przeszkód obliczyć jego objętość:

$$V=\frac{1}{3}πr^2h \\

V=\frac{1}{3}π\cdot(2\sqrt{3})^2\cdot2 \\

V=\frac{1}{3}π\cdot4\cdot3\cdot2 \\

V=\frac{1}{3}π\cdot24 \\

V=8π$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-60.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2016