---
route: /task/matura-maj-2016-19
title: Zadanie matura-maj-2016-19
source: Matura maj 2016
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2016-19

**Źródło:** Matura maj 2016
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( 14 \)
- **B.** \( 2\sqrt{33} \)
- **C.** \( 4\sqrt{33} \)
- **D.** \( 12 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(PO_{1}\).

Musimy dostrzec, że powstały trójkąt jest prostokątny. Skoro tak, to będziemy mogli skorzystać w nim z Twierdzenia Pitagorasa. Musimy też zauważyć, że odcinek \(PO_{2}\) ma długość równą \(4\), bo jest to po prostu promień naszego okręgu. Skoro tak, to możemy teraz wyznaczyć długość przyprostokątnej \(PO_{1}\):

$$a^2+b^2=c^2 \\

|PO_{2}|^2+|PO_{1}|^2=|O_{1}O_{2}|^2 \\

4^2+|PO_{1}|^2=7^2 \\

16+|PO_{1}|^2=49 \\

|PO_{1}|^2=33 \\

|PO_{1}|=\sqrt{33}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni.

Obliczona przez nas długość odcinka \(|PO_{1}|=\sqrt{33}\) jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta prostokątnego o podstawie \(|PO_{2}|=4\). Pole powierzchni tej figury jest więc równe:

$$P=\frac{1}{2}\cdot|PO_{2}|\cdot|PO_{1}| \\

P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{33} \\

P=2\sqrt{33}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2016