---
route: /task/matura-maj-2016-17
title: Zadanie matura-maj-2016-17
source: Matura maj 2016
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2016-17

**Źródło:** Matura maj 2016
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{3}\). Wtedy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{26} \)
- **B.** \( \sin \alpha =\frac{\sqrt{13}}{13} \)
- **C.** \( \sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13} \)
- **D.** \( \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{13} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2016-17.png]

Zanim zaczniemy liczyć to mała podpowiedź. Jeśli nie umiemy obliczyć tego zadania w matematyczny sposób, to wystarczy w tablicach sprawdzić jaki kąt ostry ma tangens równy (lub bliski) \(\frac{2}{3}\). Następnie jeśli już wiemy jaki to jest mniej więcej kąt to możemy sprawdzić w tablicach jaką wartość przyjmuje on dla funkcji sinus. Na koniec na kalkulatorze sprawdzimy która z tych czterech odpowiedzi daje przybliżenie najbliższe odczytowi z tablicy i tak oto zadanie będzie rozwiązane poprawnie. Zobaczmy jednak jak do tego zadania podejść w sposób matematyczny.

Krok 2. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.

Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Użyjemy tej własności, bo musimy doprowadzić nasz wynik do sinusa. Zatem:

$$tgα=\frac{2}{3} \\

\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3}$$

Mnożąc to na krzyż otrzymamy:

$$3sinα=2cosα$$

Krok 3. Obliczenie wartości sinusa przy użyciu jedynki trygonometrycznej.

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). To oznacza, że moglibyśmy sobie wyznaczyć z równania z pierwszego kroku wartość cosinusa, a następnie podstawilibyśmy ją do jedynki trygonometrycznej i wtedy otrzymalibyśmy wartość sinusa. Zatem:

$$3sinα=2cosα \\

cosα=\frac{3}{2}sinα$$

Podstawiamy teraz to do jedynki trygonometrycznej:

$$sin^2α+cos^2α=1 \\

sin^2α+\left(\frac{3}{2}sinα\right)^2=1 \\

sin^2α+\frac{9}{4}sin^2α=1 \\

\frac{13}{4}sin^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{13} \\

sin^2α=\frac{4}{13} \\

sinα=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$

(Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry to nie bierzemy pod uwagę ujemnego rozwiązania, które wyszłoby nam z równania kwadratowego \(sin^2α=\frac{4}{13}\), bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2016