---
route: /task/matura-maj-2015-34
title: Zadanie matura-maj-2015-34
source: Matura maj 2015
category: Ciągi
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2015-34

**Źródło:** Matura maj 2015
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa \(12\). Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(k=11\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.

Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:

\begin{cases}

S_{11}=187 \\

\frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12

\end{cases}

Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.

Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:

$$a_{3}=a_{1}+2r \\

a_{9}=a_{1}+8r \\

a_{11}=a_{1}+10r$$

Ze wzoru \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\) wynika, że:

$$S_{11}=\frac{a_{1}+a_{11}}{2}\cdot11 \\

S_{11}=\frac{a_{1}+a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\

S_{11}=\frac{2a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\

S_{11}=(a_{1}+5r)\cdot11 \\

S_{11}=11a_{1}+55r$$

Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:

\begin{cases}

11a_{1}+55r=187 \\

\frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12

\end{cases}\begin{cases}

11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \\

\frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3

\end{cases}\begin{cases}

a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \\

3a_{1}+10r=36

\end{cases}\begin{cases}

-3a_{1}-15r=-51 \\

3a_{1}+10r=36

\end{cases}

Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:

$$-5r=-15 \\

r=3$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.

Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:

$$3a_{1}+10r=36 \\

3a_{1}+10\cdot3=36 \\

3a_{1}=6 \\

a_{1}=2$$

Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).

$$a_{3}=a_{1}+2r \\

a_{3}=2+2\cdot3 \\

a_{3}=8$$

Krok 4. Zapisanie wzoru na \(a_{k}\) wyraz ciągu.

$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\

a_{k}=2+(k-1)\cdot3 \\

a_{k}=2+3k-3 \\

a_{k}=3k-1$$

Krok 5. Obliczenie wartości \(k\).

Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:

$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k} \\

8^2=2\cdot(3k-1) \\

64=6k-2 \\

66=6k \\

k=11$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2015