---
route: /task/matura-maj-2015-32
title: Zadanie matura-maj-2015-32
source: Matura maj 2015
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2015-32

**Źródło:** Matura maj 2015
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P=144+384\sqrt{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\).

Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\).

Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.

Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\).

$$cosα=\frac{|AC|}{|EC|} \\

\frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|\\

\frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3} \\

|EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.

$$a^2+b^2=c^2 \\

|AC|^2+|AE|^2=|EC|^2 \\

(a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2 \\

2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9 \\

18a^2+2304=50a^2 \\

-32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32) \\

a^2-72=0$$

Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:

$$a^2-72=0 \\

a^2=72 \\

a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:

$$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.

Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.

$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \\

P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H \\

P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16 \\

P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2} \\

P_{c}=144+384\sqrt{2}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-58.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2015