---
route: /task/matura-maj-2015-31
title: Zadanie matura-maj-2015-31
source: Matura maj 2015
category: Wyrażenia algebraiczne
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2015-31

**Źródło:** Matura maj 2015
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{8}{17}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Stworzenie układu równań.

Oznaczmy sobie nasz poszukiwany ułamek jako \(\frac{x}{y}\). Na podstawie treści zadania możemy ułożyć następujący układ równań:

\begin{cases}

\frac{x+\frac{1}{2}x}{y+\frac{1}{2}x}=\frac{4}{7} \\

\frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2}

\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.

Układ możemy próbować rozwiązać na wiele sposobów, ale chyba najprościej będzie zacząć od mnożenia na krzyż w pierwszym i drugim równaniu.

\begin{cases}

7\cdot(x+\frac{1}{2}x)=4\cdot(y+\frac{1}{2}x) \\

2\cdot(x+1)=1\cdot(y+1)

\end{cases}\begin{cases}

7x+\frac{7}{2}x=4y+2x \quad\bigg/\cdot2 \\

2x+2=y+1

\end{cases}\begin{cases}

14x+7x=8y+4x \\

2x+1=y \quad\bigg/\cdot(-8)

\end{cases}\begin{cases}

17x=8y \\

-16x-8=-8y

\end{cases}

Dzięki sprytnemu pomnożeniu obu stron przez \(-8\) możemy teraz dodać do siebie obie strony równania i pozbyć się w ten sposób niewiadomej \(y\). Oczywiście można też byłoby zastosować tutaj metodę podstawiania i podstawić \(y=2x+1\) z drugiego równania do równania pierwszego. Finalnie uzyskamy ten sam efekt:

$$x-8=0 \\

x=8$$

Krok 3. Obliczenie wartości mianownika poszukiwanego ułamka.

Znamy już wartość licznika (\(x=8\)), więc podstawmy go pod dowolnie wybrane równanie z układu równań i obliczmy w ten sposób niewiadomą \(y\):

$$17x=8y \\

17\cdot8=8y \\

y=17$$

To oznacza, że poszukiwanym ułamkiem jest \(\frac{8}{17}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2015