---
route: /task/matura-maj-2015-28
title: Zadanie matura-maj-2015-28
source: Matura maj 2015
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2015-28

**Źródło:** Matura maj 2015
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków - odpowiednio \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy \(1:3\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.

Generalnie naszym zadaniem jest porównanie pola powstałego rombu do pola dużego kwadratu. Do wyznaczenia pola rombu przydadzą nam się długości jego przekątnych. Jeżeli przyjęlibyśmy, że \(|AC|\) (czyli przekątna kwadratu) ma długość \(d\), to zgodnie z treścią zadania:

$$|KM|=\frac{1}{2}d \\

|LN|=\frac{2}{3}d$$

Krok 2. Obliczenie pola rombu i kwadratu.

Zarówno pole rombu jak i kwadratu możemy wyliczyć mnożąc przez siebie długości przekątnych i dzieląc wynik na \(2\).

Pole rombu:

$$P_{r}=\frac{1}{2}ef \\

P_{r}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}d\cdot\frac{2}{3}d \\

P_{r}=\frac{1}{6}d^2$$

Pole kwadratu:

$$P_{k}=\frac{1}{2}ef \\

P_{k}=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d \\

P_{k}=\frac{1}{2}d^2$$

Krok 3. Porównanie pola rombu i kwadratu.

Musimy sprawdzić jaki jest stosunek między tymi polami, tak więc:

$$\frac{P_{r}}{P_{k}}=\frac{\frac{1}{6}d^2}{\frac{1}{2}d^2}=\frac{1}{3}$$

W ten sposób zadanie zostało udowodnione.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2015