---
route: /task/matura-maj-2014-34
title: Zadanie matura-maj-2014-34
source: Matura maj 2014
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2014-34

**Źródło:** Matura maj 2014
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \( CAB \) trójkąta prostokątnego \( ACB \) ma miarę \( 30^\circ \). Pole kwadratu \( DEFG \), wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe \( 4 \). Oblicz pole trójkąta \( ACB \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P=4+\frac{19\sqrt{3}}{6}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństw trójkątów.

Rozpatrzmy sobie trzy małe trójkąty: \(DAE\), \(CDG\) oraz \(GFB\).

- każdy z nich jest prostokątny, co do tego nie mamy chyba wątpliwości.

- skoro \(|\sphericalangle DAE|=30°\) to \(|\sphericalangle EDA|=60°\) (bo suma kątów w trójkącie \(DAE\) musi być równa \(180°\)).

- skoro \(|\sphericalangle EDA|=60°\) oraz \(|\sphericalangle GDE|=90°\), to z kątów przyległych widzimy że \(|\sphericalangle CDG|=30°\).

- skoro \(|\sphericalangle CDG|=30°\) to \(|\sphericalangle CGD|=60°\) (bo suma kątów w trójkącie \(CDG\) musi być równa \(180°\)).

- skoro \(|\sphericalangle CGD|=60°\) oraz \(|\sphericalangle FGD|=90°\), to z kątów przyległych widzimy że \(|\sphericalangle BGF|=30°\).

- skoro \(|\sphericalangle BGF|=30°\) to \(|\sphericalangle GBF|=60°\) (bo suma kątów w trójkącie \(GFB\) musi być równa \(180°\)).

Wszystkie te trójkąty mają więc miary kątów równe \(30°, 60°, 90°\).

Dodatkowo każdy z tych trójkątów ma długość jednego z boków równą \(2\), bo skoro pole kwadratu jest równe \(4\), to:

$$|GD|=|DE|=|FE|=|GF|=2$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(DA\), \(GC\), \(CD\) oraz \(BG\).

Wszystkie te długości możemy obliczyć albo wykorzystując cechy trójkątów \(30°, 60°, 90°\), albo wykorzystując funkcje trygonometryczne.

a) Obliczenie długości \(|DA|\)

$$\frac{|DE|}{|DA|}=sin30° \\

\frac{2}{|DA|}=\frac{1}{2} \\

2=\frac{1}{2}\cdot|DA| \\

|DA|=4$$

b) Obliczenie długości \(|GC|\)

$$\frac{|GC|}{|GD|}=sin30° \\

\frac{|GC|}{2}=\frac{1}{2} \\

|GC|=1$$

c) Obliczenie długości \(|CD|\)

$$\frac{|CD|}{|GD|}=cos30° \\

\frac{|CD|}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\

|CD|=\sqrt{3}$$

d) Obliczenie długości \(|BG|\)

$$\frac{|GF|}{|BG|}=cos30° \\

\frac{2}{|BG|}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\

2=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot|BG| \\

|BG|=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\

|BG|=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).

$$a=|CD|+|DA|=\sqrt{3}+4 \\

h=|BG|+|GC|=\frac{4\sqrt{3}}{3}+1$$

Podstawiając poszczególne długości boków możemy teraz wyliczyć pole naszego trójkąta.

$$P=\frac{1}{2}a\cdot h \\

P=\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt{3}+4\right)\cdot\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}+1\right) \\

P=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)\cdot\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}+1\right) \\

P=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}+2 \\

P=\frac{12}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}+2 \\

P=2+\frac{3\sqrt{3}}{6}+\frac{16\sqrt{3}}{6}+2 \\

P=4+\frac{19\sqrt{3}}{6}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2014