---
route: /task/matura-maj-2014-33
title: Zadanie matura-maj-2014-33
source: Matura maj 2014
category: Równania i nierówności
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2014-33

**Źródło:** Matura maj 2014
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość \(2{,}1\) km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy \(1\) godzinę i \(4\) minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o \( 1 \) km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(v=3{,}5\) km/h

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wypisanie danych i relacji z treści zadania.

\(t\) - czas wchodzenia na wzgórze

\(1\) godzina i \(4\) minuty, czyli \(1\frac{4}{60}=\frac{16}{15}\) godziny - czas wchodzenia i schodzenia ze wzgórza

\(\frac{16}{15}-t\) - czas schodzenia ze wzgórza

\(v\) - prędkość wchodzenia na wzgórze

\(v+1\) - prędkość schodzenia ze wzgórza

\(s=2,1\) - długość drogi w kilometrach (w jednym kierunku)

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.

Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości wchodzenia i schodzenia w formie układu równań:

\begin{cases}

vt=2,1 \\

(v+1)(\frac{16}{15}-t)=2,1

\end{cases}\begin{cases}

t=\frac{2,1}{v} \\

\frac{16}{15}v-vt+\frac{16}{15}-t=2,1

\end{cases}

Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(t=\frac{2,1}{v}\) do drugiego równania. Warto też będzie wymnożyć sobie wszystkie strony powstałego równania np. przez \(30\), tak aby pozbyć się wszystkich ułamków, zatem:

$$\frac{16}{15}v-v\cdot\frac{2,1}{v}+\frac{16}{15}-\frac{2,1}{v}=2,1 \quad\bigg/\cdot 30 \\

32v-63+32-\frac{63}{v}=63 \quad\bigg/\cdot v \\

32v^2-63v+32v-63=63v \\

32v^2-94v-63=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=32,\;b=-94,\;c=-63\)

$$Δ=b^2-4ac=(-94)^2-4\cdot32\cdot(-63)=8836-(-8064)=16900 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{16900}=130$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)-130}{2\cdot32}=\frac{94-130}{64}=\frac{-36}{64}=-\frac{9}{16} \\

v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)+130}{2\cdot32}=\frac{94+130}{64}=\frac{224}{64}=3,5$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo prędkość nie może być ujemna. Zatem \(v=3,5\frac{km}{h}\) i to jest nasza końcowa odpowiedź.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2014