---
route: /task/matura-maj-2014-32
title: Zadanie matura-maj-2014-32
source: Matura maj 2014
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2014-32

**Źródło:** Matura maj 2014
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \( 198 \). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \( 1:2:3 \). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(3\sqrt{14}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości \(x\).

Znając pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i relacje między poszczególnymi długościami boków (patrz rysunek z pierwszego kroku) możemy obliczyć długość każdej z krawędzi.

$$P_{c}=2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x \\

198=4x^2+6x^2+12x^2 \\

198=22x^2 \\

x^2=9 \\

x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zostaje nam \(x=3\).

Znając wartość \(x=3\) znamy tak naprawdę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu: \(x=3\), \(2x=6\) oraz \(3x=9\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\).

Musimy poznać długość odcinka \(BD\), tak aby potem użyć jej do obliczenia przekątnej bryły. Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:

$$a^2+b^2=c^2 \\

|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \\

3^2+6^2=|BD|^2 \\

9+36=|BD|^2 \\

|BD|^2=45 \\

|BD|=\sqrt{45}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.

Ponownie skorzystamy ze wzoru na Twierdzenie Pitagorasa.

$$|BD|^2+|DH|^2=|BH|^2 \\

(\sqrt{45})^2+9^2=|BH|^2 \\

45+81=|BH|^2 \\

|BH|^2=126 \\

|BH|=\sqrt{126}=\sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-47.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2014