---
route: /task/matura-maj-2014-28
title: Zadanie matura-maj-2014-28
source: Matura maj 2014
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2014-28

**Źródło:** Matura maj 2014
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że każda liczba całkowita \( k \), która przy dzieleniu przez \( 7 \) daje resztę \( 2 \) ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \( 3k^2 \) przez \( 7 \) jest równa \( 5 \).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Jeżeli liczba \(k\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\) to możemy ją zapisać w postaci \(k=7n+2\). Podstawiając tę postać do liczby \(3k^2\) otrzymamy:

$$3k^2=3\cdot(7n+2)^2=3\cdot(49n^2+28n+4)=147n^2+84n+12$$

Teraz musimy udowodnić, że ta liczba którą otrzymaliśmy dzieli się przez \(7\) i daje resztę \(5\). Dobrze byłoby więc wyłączyć siódemkę przed nawias, ale przeszkadza nam w tym liczba \(12\). Rozbijmy więc ją sobie na działanie \(7+5\) i tak oto:

$$147n^2+84n+7+5=7\cdot(21n^2+12n+1)+5$$

W ten oto sposób pokazaliśmy, że dzieląc to wyrażenie przez \(7\) otrzymamy jakąś liczbę całkowitą (opisaną jako \(21n^2+12n+1\)) i jeszcze zostanie nam \(5\) reszty. Dowodzenie można więc uznać za zakończone.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2014