---
route: /task/matura-maj-2014-26
title: Zadanie matura-maj-2014-26
source: Matura maj 2014
category: Funkcja kwadratowa
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2014-26

**Źródło:** Matura maj 2014
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=2x^2+bx+c \) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \( W=(4,0) \). Oblicz wartości współczynników \( b \) i \( c \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(b=-16\), \(c=32\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:

I sposób - z wykorzystaniem postaci kanonicznej.

Krok 1. Odczytanie i podstawienie danych z treści zadania do postaci kanonicznej.

Funkcja przyjmuje postać \(f(x)=a(x-x_{W})^2+y_{W}\) dla współrzędnych wierzchołka \(W=(x_{W};y_{W})\). Współrzędne wierzchołka mamy podane w treści zadania, znamy też wartość współczynnika \(a\), bo z postaci ogólnej możemy odczytać, że \(a=2\). Podstawiając te wszystkie informacje do postaci kanonicznej otrzymamy:

$$f(x)=2\cdot(x-4)^2+0 \\

f(x)=2\cdot(x^2-8x+16) \\

f(x)=2x^2-16x+32$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.

W ten sposób otrzymaliśmy wzór ogólny, który możemy teraz przyrównać do postaci z treści zadania, czyli do \(f(x)=2x^2+bx+c\). Widzimy wyraźnie, że wartość poszukiwanych współczynników to \(b=-16\) oraz \(c=32\).

II sposób - z wykorzystaniem wzoru na współrzędne wierzchołka.

Krok 1. Obliczenie wartości współczynnika \(b\).

Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako:

$$(x_{W};y_{W})=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-Δ}{4a}\right)$$

Znając wartość \(x_{W}\) oraz \(a\) bardzo szybko wyliczymy współczynnik \(b\), korzystając właśnie ze współrzędnej iksowej.

$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\

4=\frac{-b}{2\cdot2} \\

4=\frac{-b}{4} \\

16=-b \\

b=-16$$

Krok 2. Obliczenie wartości delty oraz współczynnika \(c\).

Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(c\). Wyznaczymy go sobie z delty o której wiemy, że jest równa \(0\) (wynika to z tego, że współrzędna \(y=0\)). Jeśli nie widzimy tego, że delta jest równa \(0\), to oto dowód:

$$y_{W}=\frac{-Δ}{4a} \\

0=\frac{-Δ}{4\cdot2} \\

0=\frac{-Δ}{8} \quad\bigg/\cdot8 \\

0=-Δ \quad\bigg/\cdot(-1) \\

Δ=0$$

W związku z tym:

$$Δ=b^2-4ac \\

0=(-16)^2-4\cdot2\cdot c \\

0=256-8c \\

8c=256 \\

c=32$$

W ten sposób obliczyliśmy, że \(b=-16\) oraz \(c=32\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2014