---
route: /task/matura-maj-2014-14
title: Zadanie matura-maj-2014-14
source: Matura maj 2014
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2014-14

**Źródło:** Matura maj 2014
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Jeżeli \( \alpha \) jest kątem ostrym oraz \( \operatorname{tg}{\alpha }=\frac{2}{5} \), to wartość wyrażenia \( \frac{3\cos{\alpha }-2\sin{\alpha }}{\sin{\alpha }-5\cos{\alpha }} \) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \(-\frac{11}{23} \)
- **B.** \(\frac{24}{5} \)
- **C.** \(-\frac{23}{11} \)
- **D.** \(\frac{5}{24} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Zadanie można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej jest chyba podzielić sobie zarówno licznik jak i mianownik przez \(cosα\). Co nam to da? Dzięki temu otrzymamy w kilku miejscach \(\frac{sinα}{cosα}\), co z definicji tangensa jest równe \(tgα\) (wartość tangensa jest podana w treści zadania). W pozostałych miejscach dzięki temu zabiegowi skróci nam się wartość \(cosα\), co pozwoli nam szybko wyznaczyć pożądaną wartość. Zatem:

$$\frac{3cosα-2sinα}{sinα-5cosα}=\frac{\frac{3cosα}{cosα}-\frac{2sinα}{cosα}}{\frac{sinα}{cosα}-\frac{5cosα}{cosα}}= \\

=\frac{3-2tgα}{tgα-5}=\frac{3-2\cdot\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}-5}=\frac{3-\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}-5}= \\

=\frac{\frac{11}{5}}{-\frac{23}{5}}=\frac{11}{5}\cdot\left(-\frac{5}{23}\right)=-\frac{11}{23}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2014