---
route: /task/matura-maj-2014-04
title: Zadanie matura-maj-2014-04
source: Matura maj 2014
category: Logarytmy
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2014-04

**Źródło:** Matura maj 2014
**Kategoria:** Logarytmy
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Suma \( \log_8 16+1 \) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \(\log_8 17 \)
- **B.** \(\frac{3}{2} \)
- **C.** \(\frac{7}{3} \)
- **D.** \(3 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości logarytmu.

Najpierw obliczmy wartość \(\log_{8}16\). Z definicji logarytmu wiemy, że:

$$\log_{8}16=x \Longleftrightarrow 8^{x}=16$$

Widzimy wyraźnie, że wynik tego logarytmu nie jest liczbą całkowitą, bo nie istnieje taka liczba całkowita, do której można podnieść liczbę \(8\), by otrzymać \(16\). Przykładowo \(8^1=8\), natomiast \(8^2=64\). Wynik naszego logarytmu jest więc gdzieś pomiędzy jedynką i dwójką (nawet możemy stwierdzić, że jest bliżej jedynki).

Skoro nie obliczymy tego logarytmu w pamięci to musimy zamienić ósemkę i szesnastkę na potęgi o wspólnej podstawie:

$$8^{x}=16 \\

(2^3)^x=2^4 \\

2^{3x}=2^4$$

Po doprowadzeniu liczb do wspólnej podstawy możemy teraz porównać wykładniki potęg:

$$3x=4 \\

x=\frac{4}{3}$$

W ten sposób udało nam się obliczyć, że \(\log_{8}16=\frac{4}{3}\).

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.

$$\log_{8}16+1=\frac{4}{3}+\frac{3}{3}=\frac{7}{3}$$

Podpowiedź:

Kluczowe jest wyliczenie logarytmu i wiele osób ma z tym problem. Poniżej pokazano, jak drogą dedukcji i eliminacji można rozwiązać to zadanie. Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie do jakiej potęgi trzeba podnieść \(8\), aby otrzymać \(16\). No na pewno nie do potęgi pierwszej, bo \(8^1=8\), ani nie do drugiej, bo \(8^2=64\). Widzimy, że wartość tego logarytmu musi być czymś pomiędzy jedynką i dwójką. Do tego mamy dodać jeszcze \(1\), więc wynik powinien być większy niż \(2\) i mniejszy niż \(3\). Taki wynik jest tylko w ostatniej odpowiedzi i w ten oto sposób nawet nie wykonując obliczeń możemy zaznaczyć prawidłową odpowiedź.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/logarytmy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2014