---
route: /task/matura-maj-2013-34
title: Zadanie matura-maj-2013-34
source: Matura maj 2013
category: Równania i nierówności
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2013-34

**Źródło:** Matura maj 2013
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości \(336\) kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o \(40\) minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o \(9\) km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(v_1=72\) km/h, \(v_2=63\) km/h

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.

\(t\) - czas jazdy pierwszego pociągu

\(v\) - prędkość jazdy pierwszego pociągu

\(t+\frac{2}{3}h\) - czas jazdy drugiego pociągu (dodajemy \(\frac{2}{3}\), bo \(40\) minut to \(\frac{2}{3}\) godziny. Gdybyśmy zapisali to jako \(t+40min\) to potem nie moglibyśmy się posługiwać jednostkami \(\frac{km}{h}\))

\(v-9\frac{km}{h}\) - prędkość jazdy drugiego pociągu

\(s=336km\) - długość całej trasy

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.

Skorzystamy tutaj ze wzoru na drogę \(s=v\cdot t\). Podstawiając do niego nasze dane wypisane w pierwszym otrzymamy następujący układ równań:

\begin{cases}

vt=336 \\

(v-9)(t+\frac{2}{3})=336

\end{cases}\begin{cases}

t=\frac{336}{v} \\

vt+\frac{2}{3}v-9t-6=336

\end{cases}

Po podstawieniu wartości \(t\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:

$$\require{cancel}

v\cdot\frac{336}{v}+\frac{2}{3}v-9\cdot\frac{336}{v}-6=336 \\

\cancel{336}+\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=\cancel{336} \\

\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \\

v-\frac{4536}{v}-9=0 \quad\bigg/\cdot v \\

v^2-9v-4536=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=1,\;b=-9,\;c=-4536\)

$$Δ=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot1\cdot(-4536)=81+18144=18225 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{18225}=135$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)-135}{2\cdot1}=\frac{9-135}{2}=\frac{-126}{2}=-63 \\

v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)+135}{2\cdot1}=\frac{9+135}{2}=\frac{144}{2}=72$$

Rozwiązanie ujemne wykluczamy, bo prędkość musi być dodatnia. To oznacza, że ostatecznym rozwiązaniem jest \(v=72\frac{km}{h}\).

Krok 4. Obliczenie prędkości drugiego pociągu.

Prędkość jazdy drugiego pociągu to:

$$v-9\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}-9\frac{km}{h}=63\frac{km}{h}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2013