---
route: /task/matura-maj-2013-33
title: Zadanie matura-maj-2013-33
source: Matura maj 2013
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2013-33

**Źródło:** Matura maj 2013
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(100\) cm 2 , a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(260\) cm 2 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=400\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Do obliczenia objętości potrzebujemy miarę wysokości ostrosłupa, czyli odcinka \(SO\). Obliczmy ją z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to musimy poznać miary odcinków \(OE\) oraz \(SE\).

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy oraz odcinka \(OE\).

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w swojej podstawie kwadrat. Skoro pole powierzchni jest równe \(100cm^2\), to długość krawędzi podstawy jest równa \(10cm\).

Odcinek \(OE\) jest równy połowie długości podstawy, czyli \(|OE|=5cm\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(SE\), czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.

Pole powierzchni bocznej jest równe \(260cm^2\). Skoro mamy cztery identyczne trójkątne ściany, a każda z nich ma w podstawie trójkąt, to z tego pola powierzchni będziemy w stanie wyznaczyć wysokość każdego takiego trójkąta, czyli nasz odcinek \(SE\).

$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \\

260cm^2=4\cdot\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot h \\

260cm^2=20cm\cdot h \\

h=13cm$$

Mamy już więc kolejną długość \(|SE|=13cm\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.

Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa na trójkącie \(SOE\).

$$a^2+b^2=c^2 \\

|OE|^2+|SO|^2=|SE|^2 \\

(5cm)^2+|SO|^2=(13cm)^2 \\

25cm^2+|SO|^2=169cm^2 \\

|SO|^2=144cm^2 \\

|SO|=12cm \quad\lor\quad |SO|=-12cm$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość ostrosłupa nie może być ujemna.

Krok 4. Obliczenie objętości bryły.

Znamy pole podstawy, mamy obliczoną wysokość ostrosłupa, więc wystarczy już tylko podstawić dane do wzoru:

$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot100cm^2\cdot12cm \\

V=400cm^3$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-41.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2013