---
route: /task/matura-maj-2013-32
title: Zadanie matura-maj-2013-32
source: Matura maj 2013
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2013-32

**Źródło:** Matura maj 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(ABC\). Kąt \(ACS\) jest trzy razy większy od kąta \(BAS\), a kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\). Oblicz kąty trójkąta \(ABC\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(45^\circ , 60^\circ , 75^\circ \)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Musimy dostrzec, że trójkąty \(ABS\), \(BSC\) i \(ASC\) są równoramienne, bo każdy z nich ma dwa ramiona o długości promienia okręgu. Trójkąty równoramienne mają tę cechę, że przy podstawie posiadają dwa kąty identycznej miary. W związku z tym, jeśli oznaczymy sobie jako \(α\) kąt \(BAS\), to także kąt \(ABS\) jest równy \(α\).

Z treści zadania wiemy też, że kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\), czyli zgodnie z naszymi oznaczeniami miara kąta \(CBS\) jest równa \(2α\). To oznacza, że i kąt \(BCS\) ma miarę \(2α\). I analogicznie skoro kąt \(ACS\) jest równy \(3α\), to i kąt \(CAS\) ma miarę \(3a\). Oznaczmy sobie wszystkie te dane na rysunku pomocniczym.

Krok 2. Obliczenie miar kątów trójkąta \(ABC\).

Suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\). Na rysunku widzimy, że:

$$|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCA|+|\sphericalangle CAB|=3α+5α+4α=12α$$

To oznacza, że bardzo łatwo możemy wyznaczyć wartość \(α\) i tym samym obliczyć miarę każdego z kątów.

$$12α=180° \\

α=15°$$

Zatem:

$$|\sphericalangle ABC|=3α=3\cdot15°=45° \\

|\sphericalangle BCA|=5α=5\cdot15°=75° \\

|\sphericalangle CAB|=4α=4\cdot15°=60°$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-40.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2013