---
route: /task/matura-maj-2013-28
title: Zadanie matura-maj-2013-28
source: Matura maj 2013
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2013-28

**Źródło:** Matura maj 2013
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y, z\) takich, że \(x+y+z=0\) , prawdziwa jest nierówność \(xy+yz+zx\le 0\) . Możesz skorzystać z tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz .\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Przekształcenie tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\).

W zadaniu skorzystamy z tożsamości podanej w treści zadania. Spróbujemy ją przekształcić w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wartość \(xy+yz+zx\). Zatem:

$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz \\

(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=2xy+2xz+2yz \\

xy+xz+yz=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego równania.

Z treści zadania wiemy, że \(x+y+z=0\), stąd też wartość \((x+y+z)^2\) otrzymana w liczniku jest równa \(0\). Zostaje nam więc tak naprawdę:

$$xy+xz+yz=\frac{-x^2-y^2-z^2}{2}$$

Jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną. Skoro więc przed \(x^2\), \(y^2\) oraz \(z^2\) stoją znaki minusa, to na pewno w liczniku mamy wartość niedodatnią, a to z kolei jest dowodem na to, że \(xy+yz+zx\le0\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2013