---
route: /task/matura-maj-2012-34
title: Zadanie matura-maj-2012-34
source: Matura maj 2012
category: Równania i nierówności
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2012-34

**Źródło:** Matura maj 2012
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Miasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210\) km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24\) km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(t=2{,}5\) h

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.

\(s=210km\) - trasa z miasta \(A\) do \(B\) (w kilometrach)

\(v\) - prędkość pociągu pospiesznego (w \(\frac{km}{h}\))

\(v-24\) - prędkość pociągu osobowego (w \(\frac{km}{h}\))

\(t\) - czas pokonania trasy przez pociąg pospieszny (w godzinach)

\(t+1\) - czas pokonania trasy przez pociąg osobowy (w godzinach)

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.

Z powyższych danych możemy stworzyć dość prosty układ równań. Wykorzystamy przy tym wzór na drogę \(s=vt\) i podstawimy do niego raz dane dotyczące pociągu pospiesznego, a raz pociągu osobowego, zatem:

\begin{cases}

vt=210 \\

(v-24)(t+1)=210

\end{cases}

Z pierwszego równania możemy podstawić do drugiego wartość \(v=\frac{210}{t}\) i otrzymamy:

$$\left(\frac{210}{t}-24\right)\left(t+1\right)=210 \\

210+\frac{210}{t}-24t-24=210 \\

\frac{210}{t}-24t-24=0 \quad\bigg/\cdot t \\

210-24t^2-24t=0 \\

-24t^2-24t+210=0$$

Powstałą równość możemy jeszcze uprościć dzieląc obie strony przez \(6\), dzięki czemu otrzymamy:

$$-4t^2-4t+35=0$$

Jeśli nie dostrzeżesz tego dzielenia, to nic się nie stanie, po prostu w kolejnym kroku będziesz wykonywać działania na większych liczbach, ale wynik wyjdzie ten sam.

Krok 3. Rozwiązanie powstałej równości.

Równość kwadratową możemy obliczyć za pomocą tzw. metody delty.

Współczynniki: \(a=-4,\;b=-4,\;c=35\)

$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-4)\cdot35=16+560=576 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-24}{2\cdot(-4)}=\frac{4-24}{-8}=\frac{-20}{-8}=2,5 \\

t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+24}{2\cdot(-4)}=\frac{4+24}{-8}=\frac{28}{-8}=-3,5$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zatem trzymaliśmy wartość \(t=2,5\), a to oznacza, że czas pokonania drogi przez pociąg pospieszny to \(2,5\) godziny.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2012