---
route: /task/matura-maj-2012-33
title: Zadanie matura-maj-2012-33
source: Matura maj 2012
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2012-33

**Źródło:** Matura maj 2012
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=\frac{32\sqrt{3}}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wysokości graniastosłupa.

Skorzystamy tutaj z trójkąta prostokątnego \(ACE\). Znamy długość \(|AC|=4\) i znamy też miarę jednego z kątów \(|\sphericalangle ACE|=60°\). Te dwie dane posłużą nam do wyznaczenia wysokości graniastosłupa (czyli \(AE\)), a skorzystamy tutaj z funkcji tangensa:

$$tg60°=\frac{|AE|}{|AC|} \\

\sqrt{3}=\frac{|AE|}{4} \\

|AE|=4\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.

Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że w swojej podstawie ma on kwadrat. Znamy przekątną tego kwadratu i jest ona równa \(d=|AC|=4\). Z własności kwadratu wiemy też, że \(d=a\sqrt{2}\), a to pozwoli nam szybko wyliczyć długość krawędzi podstawy:

$$4=a\sqrt{2} \\

a=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

Ta długość przyda nam się teraz do obliczenia pola podstawy.

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.

Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=2\sqrt{2}\), to pole podstawy będzie równe:

$$P_{p}=(2\sqrt{2})^2=4\cdot2=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości wyznaczonego ostrosłupa.

Musimy teraz obliczyć objętość ostrosłupa. Znamy jego wysokość \(h=4\sqrt{3}\), obliczyliśmy także że \(P_{p}=8\), więc wystarczy już tylko podstawić te dane do standardowego wzoru na objętosć ostrosłupów:

$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot8\cdot4\sqrt{3} \\

V=\frac{32\sqrt{3}}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2012