---
route: /task/matura-maj-2012-30
title: Zadanie matura-maj-2012-30
source: Matura maj 2012
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2012-30

**Źródło:** Matura maj 2012
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów \(A\) i \(B\). Dwusieczne te przecinają się w punkcie \(P\). Uzasadnij, że kąt \(APB\) jest rozwarty.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

W tym zadaniu bardzo ważne jest to jak sobie oznaczymy poszczególne informacje. Oznaczmy więc sobie wszystko krok po kroku. Najpierw na rysunku nanieśmy kąty w naszym małym trójkącie \(APB\):

$$|\sphericalangle PAB|=α \\

|\sphericalangle PBA|=β \\

|\sphericalangle APB|=γ$$

Skoro dorysowane linie są dwusiecznymi, to także:

$$|\sphericalangle PAB|=α \\

|\sphericalangle PBC|=β$$

No i na koniec oznaczmy jeszcze ostatni kąt:

$$|\sphericalangle ACB|=δ$$

Krok 2. Zapisanie odpowiednich równań i nierówności.

Suma kątów trójkąta \(ABC\) jest równa \(180°\). Czyli:

$$2α+2β+δ=180°$$

Kąt \(δ\) jest na pewno dodatni (nie wiemy ile ma stopni, ale jest na pewno dodatni). To oznacza, że suma kątów \(2α+2β\) jest mniejsza od \(180°\). Matematycznie możemy to zapisać jako:

$$2α+2β\lt180° \quad\bigg/:2 \\

α+β\lt90°$$

Krok 3. Zakończenie dowodu.

Nie wiemy jaka jest dokładna miara poszczególnych kątów, ale już wiemy, że suma kątów \(α+β<90°\). Spójrzmy teraz na mały trójkąt \(APB\). Tutaj suma kątów \(α+β+γ=180°\). Skoro suma \(α+β\) jest mniejsza od \(90°\), to kąt \(γ\) musi mieć więcej niż \(90°\) i w ten sposób możemy zakończyć nasz dowód.

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-53.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2012