---
route: /task/matura-maj-2011-32
title: Zadanie matura-maj-2011-32
source: Matura maj 2011
category: Równania i nierówności
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2011-32

**Źródło:** Matura maj 2011
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Pewien turysta pokonał trasę \(112\) km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \(3\) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \(12\) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(28\) km

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.

\(x\) - liczba pokonywanych kilometrów w ciągu dnia

\(y\) - liczba dni wędrówki

\(x\cdot y=112\)

Mamy także informację, że jeśli turysta będzie podróżować o \(3\) dni dłużej, czyli \(y+3\), to mógłby pokonywać dziennie \(12\) km mniej, czyli \(x-12\). Trasa cały czas byłaby taka sama, więc:

$$(x-12)(y+3)=112$$

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.

Z naszych rozważań możemy utworzyć następujący układ równań:

\begin{cases}

x\cdot y=112 \\

(x-12)(y+3)=112

\end{cases}\begin{cases}

y=\frac{112}{x} \\

(x-12)(y+3)=112

\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:

$$(x-12)\left(\frac{112}{x}+3\right)=112 \\

112+3x-\frac{1344}{x}-36=112 \\

3x-\frac{1344}{x}-36=0 \quad\bigg/\cdot x \\

3x^2-36x-1344=0 \quad\bigg/:3 \\

x^2-12x-448=0$$

Ostatnie dzielenie przez trzy nie było konieczne, ale dzięki niemu będziemy teraz działać na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=1,\;b=-12,\;c=-448\)

$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot1\cdot(-448)=144+1792=1936 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{1936}=44$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-44}{2\cdot1}=\frac{12-44}{2}=\frac{-32}{2}=-16 \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+44}{2\cdot1}=\frac{12+44}{2}=\frac{56}{2}=28$$

Wartość \(x_{1}=-16\) musimy odrzucić, bo liczba pokonanych kilometrów nie może być ujemna. Stąd też końcową odpowiedzią jest \(x=28\), czyli turysta pokonywał \(28\) kilometrów dziennie.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2011