---
route: /task/matura-maj-2011-31
title: Zadanie matura-maj-2011-31
source: Matura maj 2011
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2011-31

**Źródło:** Matura maj 2011
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Okrąg o środku w punkcie \(S=(3,7)\) jest styczny do prostej o równaniu \(y=2x-3\). Oblicz współrzędne punktu styczności.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\left(\frac{23}{5}; \frac{31}{5}\right)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Z rysunku musimy dostrzec, że prosta przechodząca przez środek okręgu i punkt \(A\) jest prostopadła do naszej prostej o równaniu \(y=2x-3\) (wynika to bezpośrednio z własności stycznych do okręgu). To będzie nasz punkt wyjścia do dalszych obliczeń.

Krok 2. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej do prostej \(y=2x-3\).

Aby proste opisane wzorem ogólnym \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(a=2\), to współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej \(p\) będzie równy:

$$2\cdot a=-1 \\

a=-\frac{1}{2}$$

Wiemy już, że nasza prosta ma więc postać: \(y=-\frac{1}{2}x+b\).

Krok 3. Obliczenie współczynnika \(b\).

Jesteśmy już bardzo blisko poznania pełnego wzoru prostej, brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonego przed chwilą wzoru współrzędne punktu \(S=(3,7)\) przez które ta prosta przechodzi.

$$y=-\frac{1}{2}x+b \\

7=-\frac{1}{2}\cdot3+b \\

7=-1,5+b \\

b=8\frac{1}{2}$$

Wzór naszej prostej prostopadłej to: \(y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}\).

Krok 4. Obliczenie współrzędnych punktu \(A\).

Skoro znamy pełne wzory dwóch prostych, to możemy stworzyć z nich układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne miejsca ich przecięcia, czyli współrzędne punktu \(A\).

\begin{cases}

y=2x-3 \\

y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}

\end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymujemy:

$$2x-3=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2} \\

2\frac{1}{2}x=11\frac{1}{2} \\

\frac{5}{2}x=\frac{23}{2} \\

x=\frac{23}{5}=4\frac{3}{5}$$

Znając wartość współrzędnej \(x\) możemy podstawić ją do jednego z równań i wyznaczyć w ten sposób brakującą współrzędną \(y\).

$$y=2x-3 \\

y=2\cdot4\frac{3}{5}-3 \\

y=9\frac{1}{5}-3 \\

y=6\frac{1}{5}$$

Współrzędne punktu styczności to: \(A=\left(4\frac{3}{5};6\frac{1}{5}\right)\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-21.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2011