---
route: /task/matura-maj-2011-28
title: Zadanie matura-maj-2011-28
source: Matura maj 2011
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2011-28

**Źródło:** Matura maj 2011
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\cos \alpha \cdot \sin \alpha \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{1}{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obustronne pomnożenie ułamków przez wartości w mianownikach.

Chcąc się pozbyć ułamków możemy pomnożyć to równanie obustronnie przez wartości znajdujące w mianownikach. Możemy to zrobić jednocześnie w ramach jednego działania (mnożąc od razu przez \(sinα\cdot cosα\)), ale aby lepiej wyjaśnić to zadanie może zróbmy sobie to powoli krok po kroku:

$$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=2 \quad\bigg/\cdot cosα \\

sinα+\frac{cos^2α}{sinα}=2\cdot cosα \quad\bigg/\cdot sinα \\

sin^2α+cos^2α=2\cdot sinα\cdot cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).

Z "jedynki trygonometrycznej" wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). To oznacza, że po lewej stronie równania otrzymanego w pierwszym kroku będziemy mieć jedynkę, zatem:

$$1=2\cdot sinα\cdot cosα \\

sinα\cdot cosα=\frac{1}{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2011