---
route: /task/matura-maj-2011-27
title: Zadanie matura-maj-2011-27
source: Matura maj 2011
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2011-27

**Źródło:** Matura maj 2011
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Liczby \(x, y, 19\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym \(x+y=8\). Oblicz \(x\) i \(y\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=-1\), \(y=9\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego (środkowego) wyrazu ciągu.

Jedną z bardziej przydatnych własności ciągów arytmetycznych jest ta, która mówi o tym, że drugi wyraz ciągu będzie średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i trzeciego. Wynika to z poniższej zależności:

$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$

W związku z tym:

$$a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \\

a_{2}=\frac{a_{1}+a{3}}{2} \\

y=\frac{x+19}{2}$$

Krok 2. Utworzenie odpowiedniego układu równań.

Równanie obliczone w pierwszym kroku i równanie \(x+y=8\) z treści zadania tworzą układ równań, dzięki któremu bez problemu wyliczymy wartości \(x\) oraz \(y\):

\begin{cases}

y=\frac{x+19}{2} \\

x+y=8

\end{cases}

Krok 3. Rozwiązanie układu równań.

Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, zwłaszcza że mamy już w pierwszym równaniu wyprowadzoną wartość \(y\). Zatem podstawiając \(y=\frac{x+19}{2}\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:

$$x+\frac{x+19}{2}=8 \quad\bigg/\cdot2 \\

2x+x+19=16 \\

3x=-3 \\

x=-1$$

Do obliczenia pozostała nam jeszcze wartość \(y\) i możemy ją wyliczyć z dowolnie wybranego równania:

$$x+y=8 \\

-1+y=8 \\

y=9$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2011