---
route: /task/matura-maj-2011-20
title: Zadanie matura-maj-2011-20
source: Matura maj 2011
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2011-20

**Źródło:** Matura maj 2011
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(54\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sqrt{6} \)
- **B.** \( 3 \)
- **C.** \( 9 \)
- **D.** \( 3\sqrt{3} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2011-20.png]

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.

Znamy pole całkowite sześcianu, wiemy że sześcian ma sześć ścian, a więc każda ze ścian ma powierzchnię równą:

$$54:6=9$$

Wiemy już, że każda z tych ścian jest kwadratem o polu powierzchni równym \(9\), a więc długość krawędzi sześcianu jest równa:

$$a^2=9 \\

a=3 \quad\lor\quad a=-3$$

Wartość \(a=-3\) musimy oczywiście odrzucić, bo długość boku nie może być ujemna.

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.

Długość przekątnej sześcianu możemy opisać wzorem \(s=a\sqrt{3}\). To znaczy, że nasz sześcian ma przekątną równą \(s=3\sqrt{3}\).

Jeżeli nie pamiętasz tego wzoru, to możesz długość przekątnej sześcianu wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątnymi będą krawędź boczna, czyli \(a=3\) oraz przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(d=3\sqrt{2}\). Przeciwprostokątną będzie wtedy poszukiwana przez nas przekątna sześcianu:

$$3^2+(3\sqrt{2})^2=s^2 \\

9+9\cdot2=s^2 \\

9+18=s^2 \\

s^2=27 \\

s=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2011