---
route: /task/matura-maj-2011-13
title: Zadanie matura-maj-2011-13
source: Matura maj 2011
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2011-13

**Źródło:** Matura maj 2011
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{5}{13}\). Wtedy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sin \alpha =\frac{12}{13} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\)
- **B.** \( \sin \alpha =\frac{12}{13} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{5}{12}\)
- **C.** \( \sin \alpha =\frac{12}{5} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{13}\)
- **D.** \( \sin \alpha =\frac{5}{12} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{13}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2011-13.png]

Krok 2. Obliczenie wartości \(sinα\).

Wartość sinusa obliczymy korzystając z tzw. "jedynki trygonometrycznej".

$$sin^2α+cos^2α=1 \\

sin^2α+\left(\frac{5}{13}\right)^2=1 \\

sin^2α+\frac{25}{169}=1 \\

sin^2α=1-\frac{25}{169} \\

sin^2α=\frac{144}{169} \\

sinα=\sqrt{\frac{144}{169}} \\

sinα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{12}{13}$$

Wartość ujemną sinusa odrzucamy, bo w treści zadania mamy informację o tym, że jest to kąt ostry, a dla kątów ostrych sinus jest dodatni. W związku z tym \(sinα=\frac{12}{13}\).

Krok 3. Obliczenie wartości \(tgα\).

Znamy już \(sinα\) oraz \(cosα\) bez problemu obliczymy wartość \(tgα\), korzystając z zależności \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\).

$$tgα=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \\

tgα=\frac{12}{13}:\frac{5}{13} \\

tgα=\frac{12}{13}\cdot\frac{13}{5} \\

tgα=\frac{12}{5}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2011