---
route: /task/matura-maj-2011-11
title: Zadanie matura-maj-2011-11
source: Matura maj 2011
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2011-11

**Źródło:** Matura maj 2011
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_3=1\) i \(a_4=\frac{2}{3}\). Wtedy

## Odpowiedzi

- **A.** \( a_1=\frac{2}{3} \)
- **B.** \( a_1=\frac{4}{9} \)
- **C.** \( a_1=\frac{3}{2} \)
- **D.** \( a_1=\frac{9}{4} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie parametru \(q\).

Znamy trzeci i czwarty wyraz ciągu geometrycznego, więc bez problemu obliczymy wartość \(q\):

$$q=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.

Wartość pierwszego wyrazu ciągu obliczymy za pomocą wzoru:

$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Wartość \(q\) już znamy, więc teraz podstawmy do tego wzoru np. trzeci wyraz tego ciągu (wtedy \(n=3\)) i w ten sposób obliczymy wartość \(a_{1}\). Równie dobrze możemy podstawić wartość czwartego wyrazu, wtedy \(n=4\).

Tak więc:

$$a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \\

1=a_{1}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \\

1=a_{1}\cdot\frac{4}{9} \quad\bigg/\cdot\frac{9}{4} \\

a_{1}=\frac{9}{4}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2011