---
route: /task/matura-maj-2010-34
title: Zadanie matura-maj-2010-34
source: Matura maj 2010
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2010-34

**Źródło:** Matura maj 2010
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię \(240\) m 2 . Basen w drugim hotelu ma powierzchnię \(350\) m 2 oraz jest o \(5\) m dłuższy i \(2\) m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(8\times 30\) i \(10\times 35\) lub \(12\times 20\) i \(14\times 25\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.

\(s\) - szerokość pierwszego basenu

\(d\) - długość pierwszego basenu

\(s+2\) - szerokość drugiego basenu

\(d+5\) - długość drugiego basenu

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.

Na podstawie tych danych możemy stworzyć prosty układ równań.

\begin{cases}

sd=240 \\

(s+2)(d+5)=350

\end{cases}

Wymnażamy wartości w nawiasach z drugiego równania:

\begin{cases}

sd=240 \\

sd+5s+2d+10=350

\end{cases}

Podstawiamy \(sd=240\) z pierwszego równania do drugiego:

$$240+5s+2d+10=350 \\

5s+2d=100$$

Skoro \(sd=240\), to \(s=\frac{240}{d}\). Podstawiamy to do naszego powyższego równania, otrzymując:

$$5\cdot\frac{240}{d}+2d=100 \\

\frac{1200}{d}+2d=100$$

Teraz musimy wymnożyć równanie przez \(d\) i doprowadzić je do postaci ogólnej równania kwadratowego (czyli takiej, gdzie po prawej stronie będzie wartość \(0\)). Dzięki temu będziemy mogli skorzystać z metody delty.

$$\frac{1200}{d}+2d=100 \quad\bigg/\cdot d \\

1200+2d^2=100d \\

2d^2-100d+1200=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=2,\;b=-100,\;c=1200\)

$$Δ=b^2-4ac=(-100)^2-4\cdot2\cdot1200=10000-9600=400 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$

$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-100)-20}{2\cdot2}=\frac{80}{4}=20 \\

d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-100)+20}{2\cdot2}=\frac{120}{4}=30$$

Krok 4. Interpretacja wyniku i wyznaczenie ostatecznych długości basenów.

Otrzymaliśmy dwie różne możliwości długości krótszego basenu. Obydwie są poprawne, nie możemy ich odrzucić. W związku z tym będziemy mieć także dwa warianty szerokości tego basenu:

• Jeśli \(d=20\), to szerokość pierwszego basenu musi być równa \(s=12\), bo \(P=12\cdot20=240\). W związku z tym wymiary pierwszego basenu to \(s\times d=12\times20\).

Zgodnie z naszymi oznaczeniami wymiary drugiego basenu to \((s+2)\times(d+5)\), czyli w tym przypadku będzie to \(14\times25\).

• Jeśli \(d=30\), to szerokość pierwszego basenu musi być równa \(s=8\), bo \(P=8\cdot30=240\). W związku z tym wymiary pierwszego basenu to \(s\times d=8\times30\).

Zgodnie z naszymi oznaczeniami wymiary drugiego basenu to \((s+2)\times(d+5)\), czyli w tym przypadku będzie to \(10\times35\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2010