---
route: /task/matura-maj-2010-32
title: Zadanie matura-maj-2010-32
source: Matura maj 2010
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2010-32

**Źródło:** Matura maj 2010
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą ostrosłupa \(ABCD\) jest trójkąt \(ABC\). Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeśli wiadomo, że \(AD = 12\), \(BC = 6\), \(BD = CD = 13\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=48\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego.

W zasadzie do obliczenia objętości brakuje nam tylko pola podstawy, bo wysokość bryły już znamy. Aby obliczyć to pole to potrzebna byłaby wysokość trójkąta, który znalazł się w podstawie. Wyliczymy ją bez problemu jeśli poznamy długości boków \(AB\) i \(AC\) i właśnie od tego rozpoczniemy obliczenia.

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AB\) i \(AC\).

Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa. Aby obliczyć bok \(AB\) wystarczy wziąć do obliczeń duży trójkąt \(ABD\), którego miary dwóch boków są nam znane, a więc:

$$a^2+b^2=c^2 \\

|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \\

|AB|^2+12^2=13^2 \\

|AB|^2+144=169 \\

|AB|^2=25 \\

|AB|=5 \quad\lor\quad |AB|=-5$$

(wartość ujemną odrzucamy, bo bok nie może mieć długości ujemnej)

Długość boku \(AC\) wyliczymy dokładnie w ten sam sposób, tyle tylko że skorzystamy z trójkąta \(ACD\). Jego wymiary są identyczne co trójkąta \(ABD\) (są to więc trójkąty przystające), a więc i bok \(AC\) ma długość \(5\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABC\).

W podstawie mamy trójkąt równoramienny, a więc jego wysokość podzieli nam bok \(BC\) na dwie równe części. Wysokość trójkąta wyliczymy więc używając ponownie Twierdzenia Pitagorasa.

$$a^2+b^2=c^2 \\

h^2+|CE|^2=|AC|^2 \\

h^2+3^2=5^2 \\

h^2+9=25 \\

h^2=16 \\

h=4 \quad\lor\quad h=-4$$

(wartość ujemną oczywiście odrzucamy)

Krok 4. Obliczenie pola podstawy trójkąta znajdującego się w podstawie.

$$P_{p}=\frac{1}{2}a\cdot h \\

P_{p}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4 \\

P_{p}=12$$

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Znając już wszystkie potrzebne miary możemy bez problemu obliczyć objętość ostrosłupa:

$$P_{p}=12 \\

H=12 \\

V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot12=48$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-14.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-14a.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2010