---
route: /task/matura-maj-2010-29
title: Zadanie matura-maj-2010-29
source: Matura maj 2010
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2010-29

**Źródło:** Matura maj 2010
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{5}{12}\). Oblicz \(\cos \alpha \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\cos \alpha =\frac{12}{13}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2010-29.png]

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego układu równań.

Wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Na tej podstawie ułóżmy odpowiedni układ równań:

\begin{cases}

\frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \\

sin^2α+cos^2α=1

\end{cases}

Krok 3. Rozwiązanie układu równań.

\begin{cases}

\frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \quad\bigg/\cdot cosα \\

sin^2α+cos^2α=1

\end{cases}\begin{cases}

\frac{5}{12}cosα=sinα \\

sin^2α+cos^2α=1

\end{cases}

Podstawiamy wartość \(sinα\) z pierwszego równania do drugiego:

$$\left(\frac{5}{12}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\

\frac{25}{144}cos^2α+cos^2α=1 \\

\frac{25}{144}cos^2α+\frac{144}{144}cos^2α=1 \\

\frac{169}{144}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169} \\

cos^2α=\frac{144}{169} \\

cosα=\sqrt{\frac{144}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{144}{169}} \\

cosα=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \\

cosα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{12}{13}$$

Z racji tego, że w zadaniu jest mowa o kącie ostrym, to \(cosα\gt0\), a więc odrzucamy rozwiązanie ze znakiem ujemnym, zatem \(cosα=\frac{12}{13}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2010