---
route: /task/matura-maj-2010-28
title: Zadanie matura-maj-2010-28
source: Matura maj 2010
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2010-28

**Źródło:** Matura maj 2010
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Trójkąty prostokątne równoramienne \(ABC\) i \(CDE\) są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że \(AD = BE\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Naszkicujmy rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy wymagane odcinki \(AD\) oraz \(BE\) (patrz kolor niebieski).

Krok 2. Udowodnienie, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające (cecha bok-kąt-bok).

Z treści zadania wynika, że \(|AC|=|BC|\) (patrz: kolor zielony) oraz \(|DC|=|EC|\) (patrz: kolor pomarańczowy).

Jeśli jeszcze wykażemy, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) mają identyczną miarę kąta przy wierzchołku \(C\), to będziemy mogli stwierdzić, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające. Jeśli tak rzeczywiście będzie, to będzie to oznaczało, że i trzecia para boków jest równej długości, czyli że \(|AD|=|BE|\).

Zaznaczmy sobie na rysunku miary poszczególnych kątów.

Z zadania możemy wyczytać, że \(\sphericalangle ACB=90°\) oraz \(\sphericalangle DCE=90°\), a więc:

$$α=90°-β \\

γ=90°-β$$

Wykazując, że kąty \(α\) oraz \(γ\) są równej miary zakończyliśmy dowodzenie, bo już wiemy, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok, a więc \(|AD|=|BE|\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-11.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-11a.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2010