---
route: /task/matura-maj-2010-11
title: Zadanie matura-maj-2010-11
source: Matura maj 2010
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2010-11

**Źródło:** Matura maj 2010
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_3=13\) i \(a_5=39\). Wtedy wyraz \(a_1\) jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( 13 \)
- **B.** \( 0 \)
- **C.** \( -13 \)
- **D.** \( -26 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

To zadanie możemy rozwiązać tak naprawdę na dwa sposoby.

I sposób (na logikę):

W ciągu arytmetycznym każda kolejna liczba jest powiększona lub pomniejszona o tą samą wartość. W związku z tym różnica między piątym i trzecim wyrazem będzie taka sama jak między trzecim i pierwszym.

Skoro: \(a_{5}-a_{3}=39-13=26\)

To: \(a_{3}-a_{1}\) także będzie równe \(26\)

W ten sposób powstaje nam równanie:

$$a_{3}-a_{1}=26 \\

13-a_{1}=26 \\

-a_{1}=13 \\

a_{1}=-13$$

II sposób (bardziej uniwersalny):

Za pomocą wzorów z tablic matematycznych możemy wyznaczyć \(r\), czyli różnicę ciągu arytmetycznego.

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Korzystając z tego wzoru i podstawiając wartości \(a_{3}\) oraz \(a_{5}\) otrzymamy układ równań:

\begin{cases}

a_{3}=a_{1}+(3-1)r \\

a_{5}=a_{1}+(5-1)r

\end{cases}\begin{cases}

13=a_{1}+2r \quad\bigg/\cdot2 \\

39=a_{1}+4r

\end{cases}\begin{cases}

26=2a_{1}+4r \\

39=a_{1}+4r

\end{cases}\begin{cases}

26-2a_{1}=4r \\

39=a_{1}+4r

\end{cases}

Korzystamy z metody podstawiania, podstawiając za \(4r\) z pierwszego równania wartość \(26-2a_{1}\) i w ten sposób otrzymujemy:

$$39=a_{1}+26-2a_{1} \\

13=-a_{1} \\

a_{1}=-13$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2010