---
route: /task/matura-lipiec-2020-34
title: Zadanie 34 - Matura lipiec 2020
source: Matura lipiec 2020
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie 34 - Matura lipiec 2020

**Źródło:** Matura lipiec 2020
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym \(ABCDEFS\), którego krawędź podstawy \(a\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha=60^\circ\). Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenia.

Punkt \(P\) jest środkiem podstawy i spodkiem wysokości \(SP\). Niech \(R\) będzie środkiem krawędzi \(BC\). Kąt nachylenia ściany bocznej \(BCS\) do podstawy to kąt \(SRP\), a kąt nachylenia krawędzi bocznej \(SB\) do podstawy to kąt \(SBP\), którego miarę oznacza się \(\beta\).

Krok 2. Odległość środka podstawy od krawędzi.

Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku \(a=8\). Odcinek \(PR\) jest wysokością trójkąta równobocznego \(BCP\):

$$|PR|=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3$$

Krok 3. Wysokość ostrosłupa.

W trójkącie prostokątnym \(SPR\) kąt przy wierzchołku \(R\) ma miarę \(\alpha=60^\circ\):

$$|SP|=|PR|\cdot\operatorname{tg}60^\circ=4\sqrt3\cdot\sqrt3=12$$

Krok 4. Długość krawędzi bocznej.

Odcinek \(PB\) jest bokiem trójkąta równobocznego \(BCP\), więc \(|PB|=8\). Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(SPB\):

$$\begin{aligned}|SB|&=\sqrt{|SP|^2+|PB|^2}\\&=\sqrt{144+64}\\&=\sqrt{208}=4\sqrt{13}\end{aligned}$$

Krok 5. Cosinus kąta \(\beta\).

$$\cos\beta=\frac{|PB|}{|SB|}=\frac{8}{4\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$

**Odpowiedź:** \(\cos\beta=\frac{2\sqrt{13}}{13}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-lipiec-2020