---
route: /task/matura-lipiec-2020-32
title: Zadanie 32 - Matura lipiec 2020
source: Matura lipiec 2020
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie 32 - Matura lipiec 2020

**Źródło:** Matura lipiec 2020
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkty \(A=(1,-1)\), \(B=(6,1)\), \(C=(7,5)\) i \(D=(2,4)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Równanie prostej \(AC\).

$$a_{AC}=\frac{5-(-1)}{7-1}=1$$

Prosta \(y=x+b\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-1)\), więc \(-1=1+b\), czyli \(b=-2\). Prosta \(AC\) ma równanie \(y=x-2\).

Krok 2. Równanie prostej \(BD\).

$$a_{BD}=\frac{4-1}{2-6}=-\frac34$$

Prosta \(y=-\frac34x+b\) przechodzi przez punkt \(D=(2,4)\), więc \(4=-\frac34\cdot2+b\), czyli \(b=\frac{11}{2}\). Prosta \(BD\) ma równanie \(y=-\frac34x+\frac{11}{2}\).

Krok 3. Punkt przecięcia przekątnych.

Punkt przecięcia spełnia oba równania jednocześnie:

$$\begin{aligned}x-2&=-\frac34x+\frac{11}{2}\\\frac74x&=\frac{15}{2}\\x&=\frac{30}{7}\end{aligned}$$

$$y=\frac{30}{7}-2=\frac{16}{7}$$

Otrzymany punkt leży między \(A\) i \(C\), bo \(1\lt\frac{30}{7}\lt7\), oraz między \(B\) i \(D\), bo \(2\lt\frac{30}{7}\lt6\). Jest więc punktem przecięcia samych przekątnych, a nie tylko prostych, w których one leżą.

**Odpowiedź:** \(M=\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-lipiec-2020