---
route: /task/matura-lipiec-2020-29
title: Zadanie 29 - Matura lipiec 2020
source: Matura lipiec 2020
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie 29 - Matura lipiec 2020

**Źródło:** Matura lipiec 2020
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Bok \(AB\) jest średnicą, a punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\). Punkt \(D\) leży na tym okręgu, a odcinek \(SD\) zawarty jest w symetralnej boku \(BC\) trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że odcinek \(AD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta \(CAB\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Kąt prosty przy wierzchołku \(C\).

Bok \(AB\) jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), więc kąt \(ACB\) jest kątem wpisanym opartym na półokręgu. Taki kąt jest prosty, zatem \(AC\perp BC\).

Krok 2. Równoległość prostych \(AC\) i \(SD\).

Odcinek \(SD\) jest zawarty w symetralnej boku \(BC\), więc \(SD\perp BC\). Dwie proste prostopadłe do tej samej prostej \(BC\) są równoległe, zatem \(AC\parallel SD\).

Krok 3. Kąty naprzemianległe.

Prosta \(AD\) przecina proste równoległe \(AC\) i \(SD\), więc kąty naprzemianległe przy punktach \(A\) i \(D\) są równe:

$$\sphericalangle CAD=\sphericalangle ADS$$

Krok 4. Trójkąt równoramienny \(ASD\).

Odcinki \(SA\) i \(SD\) są promieniami okręgu, więc trójkąt \(ASD\) jest równoramienny, a kąty przy jego podstawie \(AD\) są równe:

$$\sphericalangle SAD=\sphericalangle ADS$$

Krok 5. Połączenie obu równości.

Z dwóch powyższych równości wynika, że \(\sphericalangle CAD=\sphericalangle SAD\). Punkt \(S\) leży na odcinku \(AB\), więc kąt \(SAD\) to kąt \(BAD\). Półprosta \(AD\) dzieli zatem kąt \(CAB\) na dwa kąty o równych miarach.

**Wniosek:** odcinek \(AD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta \(CAB\), co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-lipiec-2020