---
route: /task/matura-lipiec-2020-28
title: Zadanie 28 - Matura lipiec 2020
source: Matura lipiec 2020
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie 28 - Matura lipiec 2020

**Źródło:** Matura lipiec 2020
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunek \(a\lt4\) i \(b\lt4\), to \(ab+16\gt4a+4b\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na jedną stronę.

Nierówność \(ab+16\gt4a+4b\) jest równoważna nierówności:

$$ab-4a-4b+16\gt0$$

Krok 2. Rozkład na czynniki.

Grupowanie wyrazów daje postać iloczynową:

$$\begin{aligned}&ab-4a-4b+16\\&=a(b-4)-4(b-4)\\&=(a-4)(b-4)\end{aligned}$$

Zatem nierówność z treści zadania jest równoważna nierówności \((a-4)(b-4)\gt0\).

Krok 3. Znak iloczynu.

Z założeń \(a\lt4\) i \(b\lt4\) wynika, że \(a-4\lt0\) oraz \(b-4\lt0\). Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, więc \((a-4)(b-4)\gt0\), a stąd \(ab+16\gt4a+4b\).

**Wniosek:** dla liczb rzeczywistych \(a\lt4\) i \(b\lt4\) zachodzi nierówność \(ab+16\gt4a+4b\), co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-lipiec-2020