---
route: /task/matura-lipiec-2020-27
title: Zadanie 27 - Matura lipiec 2020
source: Matura lipiec 2020
category: Logarytmy
points: 2
type: open
---

# Zadanie 27 - Matura lipiec 2020

**Źródło:** Matura lipiec 2020
**Kategoria:** Logarytmy
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są liczby \(a=3\log_2 12-\log_2 27\) i \(b=\left(\sqrt{6}-\sqrt{7}\right)\left(3\sqrt{6}+3\sqrt{7}\right)\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a-b=9\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie liczby \(a\).

Liczba \(27\) to \(3^3\), więc \(\log_2 27=3\log_2 3\). Z własności \(\log_b x-\log_b y=\log_b\frac{x}{y}\):

$$\begin{aligned}a&=3\log_2 12-3\log_2 3\\&=3\log_2\frac{12}{3}=3\log_2 4\\&=3\cdot2=6\end{aligned}$$

Krok 2. Obliczenie liczby \(b\).

Z drugiego nawiasu wyłącza się \(3\), a następnie stosuje wzór \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\):

$$\begin{aligned}b&=3\left(\sqrt6-\sqrt7\right)\left(\sqrt6+\sqrt7\right)\\&=3\left(6-7\right)=-3\end{aligned}$$

Krok 3. Obliczenie różnicy.

$$a-b=6-(-3)=9$$

**Odpowiedź:** \(a-b=9\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/logarytmy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-lipiec-2020