---
route: /task/matura-czerwiec-2026-32
title: Zadanie 32 - Matura czerwiec 2026
source: Matura czerwiec 2026
category: Funkcja kwadratowa
points: 3
type: open
---

# Zadanie 32 - Matura czerwiec 2026

**Źródło:** Matura czerwiec 2026
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Rozważamy wszystkie trójkąty \(DEF\) spełniające jednocześnie następujące warunki: punkt \(E\) leży na boku \(AB\) kwadratu \(ABCD\), punkt \(F\) leży na boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\), \(|CF|=\frac{1}{2}\cdot|EB|=x\), gdzie \(x\in(0,2)\) (zobacz rysunek). Niech \(P(x)\) oznacza pole trójkąta \(DEF\) w zależności od długości \(x\) odcinka \(CF\). Wyznacz wzór funkcji \(P\) zmiennej \(x\), gdzie \(x\in(0,2)\). Oblicz długość \(x\) odcinka \(CF\), dla której pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P(x)=x^2-2x+8\), \(x=1\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Długości odcinków.

Z warunków zadania \(|AD|=|DC|=4\), \(|CF|=x\), \(|BF|=4-x\), \(|EB|=2x\) oraz \(|AE|=4-2x\). Dla \(x\in(0,2)\) wszystkie te długości są dodatnie.

Krok 2. Pola trzech trójkątów prostokątnych.

$$P_{EBF}=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot(4-x)=4x-x^2$$

$$P_{FCD}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot x=2x$$

$$P_{DAE}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot(4-2x)=8-4x$$

Krok 3. Wzór funkcji \(P\).

Pole trójkąta \(DEF\) to pole kwadratu pomniejszone o pola tych trzech trójkątów:

$$\begin{aligned}P(x)&=4^2-\left(4x-x^2+2x+8-4x\right)\\ &=16-\left(-x^2+2x+8\right)\\ &=x^2-2x+8\end{aligned}$$

Wzór obowiązuje dla \(x\in(0,2)\).

Krok 4. Najmniejsza wartość funkcji.

Wykresem funkcji \(P\) jest fragment paraboli o ramionach skierowanych do góry. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa:

$$p=\frac{-(-2)}{2\cdot 1}=1\in(0,2)$$

Funkcja \(P\) przyjmuje więc najmniejszą wartość dla \(x=1\), a ta wartość to \(P(1)=1-2+8=7\).

**Odpowiedź:** \(P(x)=x^2-2x+8\) dla \(x\in(0,2)\), a pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze dla \(x=|CF|=1\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2026